Los tesoros matemáticos que esconde el triángulo de Pascal

Hace poco hemos visto y trabajado como se construye para qué se puede usar el triángulo de Tartaglia.

El triángulo de Pascal (o triángulo de Tartaglia) está formado por infinitas filas de números, y se construyen de la siguiente forma:

 

La primera fila, la Fila 0, tiene solamente un uno: 1.

- La segunda, la Fila 1, tiene dos unos, a izquierda y derecha del uno anterior: 1 1

- La tercera fila, la Fila 2, se construye así: sumamos los dos números de la anterior y colocamos el resultado, 2, debajo del hueco que dejan dichos números, y a izquierda y derecha colocamos dos unos. Nos queda así: 1 2 1.

- La cuarta fila, y las posteriores, se construyen del estilo a la tercera: debajo de cada hueco entre dos números de la fila anterior escribimos la suma de dichos números, y a izquierda y derecha colocamos dos unos. 

nombre se debe al matemático francés Blaise Pascal (y el otro al matemático italiano Niccolo Fontana, apodado Tartaglia por su condición de tartamudo), aunque parece que este objeto matemático ya era conocido en la antigua China.

Bonito, ¿verdad? Bien, pues en lo que nos queda de artículo vamos a ver unas cuantas interesantes propiedades de este triángulo numérico, algunas de ellas muy populares y otras no tan conocidas y ciertamente curiosas.

Lo primero que vamos a explicar es el porqué de llamar Fila 0 a la primera fila, Fila 1 a la segunda, y así sucesivamente. Una razón podría ser la siguiente: si sumamos los números de la Fila n, el resultado es exactamente 2n: la suma de los de la Fila 0 es 1, que es 20, los de la Fila 1 suman 2, que es 21, los de la Fila 2 suman 4, que es 22, etc:

 

o podríamos dar otra razón: los números de la Fila n son los coeficientes del desarrollo del binomio (a+b)n. Lo vemos:

- (a+b)0=1

- (a+b)1=1 · a + 1 · b

- (a+b)2=1 · a2 + 2 · ab + 1 · b2

- (a+b)3=1 · a3 + 3 · a2b + 3 · ab2 + 1 · b3

- …

Veamos ahora algunos objetos matemáticos que podemos encontrar de manera sencilla en el triángulo de Pascal. Por ejemplo, es sencillo encontrar en él los números naturales: están en la diagonal recuadrada de la imagen de la izquierda. Y también es fácil encontrar los números triangulares: aparecen en la diagonal recuadrada en la imagen de la derecha:

 

Un pelín más escondidos, pero no demasiado, están los números cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, etc. Están en la misma diagonal de los triangulares, sumando cada dos consecutivos:

 

La siguiente propiedad curiosa de este triángulo de Pascal es el llamado stick de Hockey: si comenzáis en un 1 cualquiera y vais en diagonal, la suma de todos los números recorridos es igual al número que os encontréis en la fila siguiente, pero en la diagonal contraria. En la siguiente imagen tenéis algunos ejemplos para que lo entendáis mejor:

 

Vamos ahora con alguna característica menos evidente, más rebuscada: podemos encontrar la sucesión de Fibonacci en el triángulo de Pascal. La sucesión de Fibonacci, para quien no la conozca, comienza con F1=1 y F2=1, y el resto de términos se forman sumando los dos anteriores: Fn=Fn-1+Fn-2. Concretamente, sería ésta: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etc. ¿Cómo encontrarla? Echa un ojo a la siguiente imagen:

 

Como podéis ver, en el triángulo de Pascal aparecen tanto números pares como números impares. Pues si quitamos los pares obtenemos una bonita disposición fractal, conocida como triángulo de Sierpinski:

 

Fuente: Miguel Ángel Morales (El País)